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  - 沪教版教参必修第二册·第7章
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# 第 7 章 三角函数

> 拆分自 [[沪教版教参必修第二册]] · **第 7 章 三角函数**（原文件第 905–1414 行）。
> 正文、公式与图片引用逐字保留；标题按语义重算层级，OCR 噪声前缀（页码/页边框）已清理。


## 一、本章概述

### 总体要求

国家课程标准指出:“重视以学科大概念为核心,促进学科核心素养的落实”. “函数”是数学学科的一个大概念,它是一条“贯穿高中数学课程的主线”. 其中,三角函数是基本初等函数之一. 现实生活中存在大量的周期现象, 而三角函数是刻画周期现象最典型的数学模型, 它是分析和解决周期问题的基本工具, 在物理学、工程学和其他许多领域都有广泛的应用.

通过第 4 章和第 5 章的学习, 我们有了函数这个概念和工具, 从而可以从对应关系的角度建立正弦函数、余弦函数和正切函数的概念. 将 “三角函数” 从三角中分离出来独立成章,既加强了对三角运算的基本训练,也突出了“函数”这一数学课程主线, 凸显函数学习中由特殊到一般、再由一般到特殊的认知规律.

区别于第 6 章中静态地将正弦、余弦和正切作为比值研究的方式, 本章从动态的角度, 对正弦函数、余弦函数和正切函数加以研究. 在这一章中, 给出了正弦函数、 余弦函数和正切函数的定义, 指出了它们的定义域是实数集的一个子集.

通过本章的学习, 学生可以体会“用几何直观和代数运算的方法研究三角函数的周期性、奇偶性(对称性)、单调性和最大(小)值等性质; 利用三角函数构建数学模型, 解决实际问题”.

对于三角函数的研究, 本章采用先画函数图像, 再研究三角函数的性质的方式. 这种数形结合的方法, 有利于学生发现三角函数的性质, 而数形结合的思想也是 “直观想象”这一数学核心素养的体现.

对于三角函数的周期性、奇偶性、单调性、值域与最值等主要性质, 用几何直观和代数运算的方法加以研究, 并尽量说明其理由, 以提升学生 “逻辑推理” 的素养. 本章呈现的生活中的实例可以作为培养学生 “数学建模”素养的素材.

### 课时安排建议

本章的课时安排建议为 8+1,共计 9 课时. 建议如下:

<table><tr><td>章节名</td><td>建议课时</td><td>具体课时分配建议</td></tr><tr><td rowspan="4">7.1 正弦函数的图像与性质</td><td rowspan="4">4</td><td>正弦函数的图像 1 课时</td></tr><tr><td>正弦函数的性质: 周期性 1 课时</td></tr><tr><td>值域与最值 1 课时</td></tr><tr><td>奇偶性与单调性 1 课时</td></tr><tr><td>7.2 余弦函数的图像与性质</td><td>1</td><td/></tr><tr><td>7.3 函数 $y = A\sin \left( {{\omega x} + \varphi }\right)$ 的图像</td><td>1</td><td>可以根据学生实际情况调整为 1.5 课时</td></tr><tr><td>7.4 正切函数的图像与性质</td><td>1</td><td/></tr><tr><td>探究与实践</td><td>1</td><td>可以根据学生实际情况调整为 0.5 课时</td></tr><tr><td>复习与小结</td><td>1</td><td/></tr></table>

### 内容编排与特色

本章内容共分为四节, 分别是 7.1 正弦函数的图像与性质, 7.2 余弦函数的图像与性质,7.3 函数 $y = A\sin \left( {{\omega x} + \varphi }\right)$ 的图像,7.4 正切函数的图像与性质.

“7.1 正弦函数的图像与性质”着重研究正弦函数的图像、性质(周期性、奇偶性、 单调性和最值), 为后续三节内容的学习奠定基础. 与幂函数、指数函数和对数函数不同, 三角函数具有周期性. 研究正弦函数的性质时, 先研究它的周期性, 再研究其奇偶性、单调性和最值, 这样在讨论正弦函数的单调性和最值时, 就可以选择在长度为一个周期的适当区间上加以研究,从而简化问题. 为了说明正弦函数 $y = \sin x$ 的最小正周期是 ${2\pi }$ ,我们结合它的图像,从图像的平移角度说明小于 ${2\pi }$ 的正数不是正弦函数 $y = \sin x$ 的最小正周期,这一论述过程体现了数形结合的思想,有助于培养学生 “直观想象和逻辑推理”的核心素养.

本节末尾, 教材提供了一篇阅读材料“圆周运动与简谐运动”. 即使学生暂时缺乏这一部分物理知识的基础, 也可以感受到正弦函数在物理等学科中的应用, 体会物理问题中数学建模的思想.

“7.2 余弦函数的图像与性质”一节,因为余弦函数 $y = \cos x$ 与函数 $y = \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}}\right)$ 是完全相同的函数,所以可以很自然地利用平移把余弦函数 $y = \cos x$ 转化成正弦函数 $y = \sin x$ ,从而得到余弦函数的图像与性质. 本节的例题既是对余弦函数的图像和性质的应用, 又是对正弦函数中未涉及到的问题(即在自变量有限制范围时正弦型或余弦型函数的最值问题)的补充.

“7.3 函数 $y = A\sin \left( {{\omega x} + \varphi }\right)$ 的图像”中,引入了一个实际问题,说明研究函数 $y = A\sin \left( {{\omega x} + \varphi }\right)$ 的图像的必要性,并了解参数 $A$ 、 $\omega$ 及 $\varphi$ 的实际意义. 例 1 涉及参数 $A\text{、}\omega \text{、}\varphi$ 的变化对函数 $y = A\sin \left( {{\omega x} + \varphi }\right)$ 图像的影响,但在探究过程中,基本上采取点到为止,适当控制了难度. 例 3 借助图像加强学生对于参数 $A\text{、}\omega \text{、}\varphi$ 的意义的理解. 通过实际问题和例 3 使学生体会到三角函数与现实世界的密切联系.

本节末尾提供了一个探究与实践活动“潮汐的函数模拟”和一篇阅读材料“声音中的三角函数”. 这两个材料都凸显了三角函数在描述周期变化问题中的作用. 其中, 探究与实践活动可以引导学生理解如何用三角函数描述客观世界中的周期变化规律, 这也是数学建模的一部分.

“7.4 正切函数的图像与性质”包含正切函数的图像与正切函数的性质两个部分, 类比正弦函数的研究方法可以很快得到正切函数的图像与性质. 所展示的例题与“二期课改”教材基本一致,并把“二期课改”教材中较难的一个例题作为“探究与实践” 活动.

本章结构上注重知识的前后逻辑关系, 是一般函数的理论在三角函数中的应用, 是理论指导实践的具体体现. 本章的章首语、探究与实践、课后阅读以及部分章节中的情景引入和例题设计关注学生生活, 注重以学生的发展为本; 丰富的生活实例及问题实例凸显数学从生活中来, 强调数学与生活、数学与物理的联系, 提高学生运用数学解决实际生活中的问题的能力.

### 教学提示

教师应把涉及到“函数”这一大概念的内容视为一个整体, 使学生体会由一般函数到三角函数这种由一般到特殊的理论指导实践的过程; 体会用三角函数图像的几何直观认识三角函数的性质的过程; 经历运用三角函数解决实际问题的全过程.

在三角函数的教学中, 要注意先由图像发现性质, 再论证性质的过程; 由正弦函数的图像与性质, 转化或类比得到余弦函数、正切函数的图像与性质的过程.

教学中应充分发挥单位圆的作用, 引导学生借助单位圆, 画出正弦函数与正切函数的图像,探索三角函数的值域与最值、单调性.

关于三角函数应用的教学, 要充分利用本章各节所提供的问题情景, 引导学生理解如何用三角函数描述客观世界中的周期变化规律,体会三角函数与现实世界的密切联系.

在三角函数的性质的教学过程中, 应避免编制偏题、怪题, 避免繁琐的技巧训练.

鼓励学生运用信息技术学习、探索和解决问题. 例如, 利用计算器、计算机画出三角函数的图像,探索、比较它们的变化规律,研究三角函数的性质.

在教学过程中还应结合具体实例和问题引导学生提升数学抽象、数学运算、数学建模、直观想象和逻辑推理的素养.

### 评价建议

教学评价过程要创设合适的教学情境,提出合适的数学问题,对学生形成概念、 语言表达概念等交流过程进行评价. 例如,通过观察正弦函数的图像,发现正弦函数的函数值随自变量的变化呈现出“周而复始”的周期变化规律,进而引入一般周期函数的概念,在此教学过程中,应通过课堂观察评价学生这一“数学抽象”的过程.

教学评价过程中要关注把握知识技能的范围和难度. 例如, 在讨论正弦函数的最小正周期为什么是 ${2\pi }$ 的探究中考查学生的思维过程,对学生的思维深度和思维广度进行评价. 通过把对余弦函数的研究转化为对正弦函数的研究的过程, 考查学生从整体上把握问题的思考方式,等等. 在过程评价中使学生感受到成长的快乐,激发其数学学习的积极性.

引导每个学生积极参与本章的两个探究与实践活动, 体会利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型. 这些可以是个体活动, 也可以是小组活动. 通过提交研究报告或小论文等形式进行小结,采用不同的方式对研究报告或小论文进行评价.

在本章的阶段评价中需关注的知识重点是:

1. 正弦函数 $y = \sin x$ 、余弦函数 $y = \cos x$ 和正切函数 $y = \tan x$ 的图像,以及奇偶性、周期性、单调性、值域与最值等性质.

2. 五点法画函数 $y = A\sin \left( {{\omega x} + \varphi }\right)$ 的图像以及从函数 $y = A\sin \left( {{\omega x} + \varphi }\right)$ 的图像中获取参数 $A\text{、}\omega \text{、}\varphi$ 的值.

3. 用三角函数解决简单的实际问题及构建刻画事物周期变化的简单的数学模型.

#### 二、教材分析与教学建议

##### 7.1 正弦函数的图像与性质

### 教学重点

建立正弦函数的概念,借助单位圆画正弦函数 $y = \sin x$ 在 $\left\lbrack  {0,{2\pi }}\right\rbrack$ 上的图像,并利用诱导公式得到 $y = \sin x, x \in  \mathbf{R}$ 的图像. 掌握正弦函数的图像特征,会用五点法绘制 $y = \sin x$ 在一个周期内的图像.

掌握正弦函数的周期性,理解周期函数的定义,了解函数 $y = A\sin \left( {{\omega x} + \varphi }\right)$ 的周期.

借助单位圆理解正弦函数的值域与最值, 能运用正弦函数的值域与最值解决简单的正弦型函数的相应问题.

了解正弦函数的奇偶性, 借助单位圆理解正弦函数的单调性, 能运用正弦函数的单调性解决问题.

### 内容分析

第 4 章、第 5 章学习的幂函数、指数函数、对数函数和一般函数的图像与性质为本章提供了研究函数的工具和方法一先画出三角函数的图像, 再研究其主要性质. 本节内容是这一章的重点. 有了这一节的基础, 我们就可以把余弦函数转化为正弦函数,进而深入研究函数 $y = A\sin \left( {{\omega x} + \varphi }\right)$ 的图像,并类比正弦函数的图像与性质得到正切函数的图像与性质.

正弦函数的图像是借助单位圆,利用描点法得到的. 通过观察函数 $y = \sin x$ , $x \in  \left\lbrack  {0,{2\pi }}\right\rbrack$ 图像的特征,找到五个关键点,由此得到正弦函数 $y = \sin x, x \in  \mathbf{R}$ 的大致图像.

例 1 旨在说明如何用五点(作图)法作出正弦函数的大致图像,结合图像求解最简单的三角不等式.

正弦函数的最小正周期为 ${2\pi }$ 这一事实,在过去的教材中均回避其证明,本教材利用图像平移的方法简明而严格地说明了这一点, 是一个特色.

例 2 旨在例示如何通过换元并利用正弦函数 $y = \sin x$ 的最小正周期,得到函数 $y = A\sin \left( {{\omega x} + \varphi }\right) \left( {A \neq  0,\omega  > 0}\right)$ 的最小正周期为 $T = \frac{2\pi }{\omega }$ .

例 3 是函数 $y = A\sin \left( {{\omega x} + \varphi }\right)$ (其中 $A\text{、}\omega \text{、}\varphi$ 为常数,且 $A \neq  0,\omega  > 0$ ) 的最小正周期公式的简单运用. 通过本例也可以总结出该函数的最小正周期为 $T = \frac{2\pi }{\left| \omega \right| }$ .

例 4 旨在使学生理解周期函数的概念,强调在周期函数的定义中,自变量 $x$ 的取值是定义域内的任意值.

正弦函数的最小正周期为 ${2\pi }$ ,在研究正弦函数的值域与最值时,只需选择一个适当的、长度为一个周期的区间进行研究. 这里取此区间为 $\lbrack 0,{2\pi })$ ,并借助单位圆, 从正弦函数的定义出发研究正弦函数的值域与最值.

例 5 旨在使学生掌握正弦函数的值域与最值的简单应用, 并学会用三角公式或换元法转化为熟悉的函数求最值.

例 6 是三角函数最值在实际问题中的应用, 使学生体会到可以建立三角函数模型来解决实际问题, 培养学生“数学建模”的素养.

例 7 是函数奇偶性的判断问题. 注意在判断函数奇偶性时, 首先要写出函数的定义域.

此处取区间为 $\left\lbrack  {-\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}}\right\rbrack$ ,并借助单位圆,从正弦函数的定义出发研究正弦函数的单调性.

例 8 运用正弦函数的单调性判断两个正弦值的大小, 是正弦函数单调性最直接的应用.

例 9 利用正弦函数的单调性求形如 $y = A\sin \left( {{\omega x} + \varphi }\right)$ 的函数的单调区间. 首先把该函数转化为 $A > 0$ 且 $\omega  > 0$ 的情况以简化问题,然后基于 ${\omega x} + \varphi \left( {\omega  > 0}\right)$ 与 $x$ 的递增或递减的变化一致, 利用正弦函数的单调性解决问题. 严格的说理也可以使用函数单调性的定义. 为避免增加学生负担, 本题没有给出复合函数单调性的判断法则. 本例第(2)问的第二步,也可以先求出 ${2x} - \frac{\pi }{6}$ 的范围,即 $- \frac{13\pi }{6} < {2x} - \frac{\pi }{6} \leq   - \frac{\pi }{6}$ ,再令 $t = \; {2x} - \frac{\pi }{6}$ ,进而考虑函数 $y = 2\sin t, t \in  \left( {-\frac{13\pi }{6}, - \frac{\pi }{6}}\right\rbrack$ 的单调减区间.

课后阅读“圆周运动与简谐运动”介绍了正弦函数在物理学中的应用,也可以让学生体会到正弦函数的自变量不一定是角.

习题 7.1B 组的第 7 题可以使学生了解到除了我们学习的三角函数外, 还有其他类型的周期函数, 但在本阶段教学中不宜编制有关周期函数的过难的习题.

### 注意事项

由于正弦函数 $y = \sin x$ 的函数值是直角坐标系下、以坐标原点为圆心的单位圆上点的纵坐标,而单位圆这个封闭的曲线在 $y$ 轴上的正投影是 $y$ 轴上从 -1 到 1 的线段,因此单位圆上点的纵坐标即 $\sin x$ 的值,能取遍 -1 到 1 之间的一切实数值,从而 $\sin x \in  \left\lbrack  {-1,1}\right\rbrack$ ,即 $y = \sin x$ 的值域为 $\left\lbrack  {-1,1}\right\rbrack$ .

借助单位圆研究正弦函数的值域与最值, 就可以容易地用直观的方法说明正弦函数的单调性.

正弦函数图像的对称性可以通过平移转化为研究正弦型函数的奇偶性, 因而不作为正弦函数的一个主要性质列出. 对于正弦函数图像的对称性, 在编制练习题时不建议加大难度.

正弦函数的零点, 实际上是振动的平衡位置所对应的自变量的值, 但是若将正弦函数的图像向上或向下平移,就可能没有零点了. 因此,在函数 $y = A\sin \left( {{\omega x} + \varphi }\right)  + \; B$ 图像上,重要的点并不是零点所对应的函数图像上的点,而是平衡位置上相应的点和图像的最高点与最低点. 因此本节没有将零点作为主要性质,用五点(作图)法来强调图像上的关键点就可以了.

### 教学建议

学生学习了第 6 章“三角”, 可能产生固化的静态思考模式. 为了促使学生转变思考问题的角度, 在教学中建议简单介绍课后阅读“圆周运动与简谐运动”, 以便利用现实世界中的例子使学生体会到从函数角度研究三角的必要性.

在教学中应突出单位圆在研究函数图像与性质时的重要作用, 无论是画正弦函数 $y = \sin x$ 在 $\left\lbrack  {0,{2\pi }}\right\rbrack$ 上的图像,研究正弦函数 $y = \sin x$ 在 $\lbrack 0,{2\pi })$ 上的值域与最值,还是研究正弦函数 $y = \sin x$ 在 $\left\lbrack  {-\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}}\right\rbrack$ 上的单调性,都是借助单位圆,利用正弦函数的定义而严格得到的. 要避免仅仅从正弦函数的直观图像得到这些结论的不严格的做法.

在研究正弦函数的性质时, 我们宜先研究它的周期性, 这可为研究正弦函数的单调性和最值提供简便的方法. 一般来说, 函数的值域可由函数的单调性决定, 但是借助单位圆先研究值域比先研究单调性相对简单, 所以教材采用的顺序是: 周期性一值域与最值一奇偶性与单调性. 教学过程也可以根据学生的具体情况适当调整顺序为: 周期性一奇偶性与单调性一值域与最值. 如果按照后一种顺序教学, 就可以对自变量有限制范围的函数的最值问题进行探讨, 但是下一节“余弦函数的图像与性质”例 1 的第(2)小题中会涉及到此类问题,在本节教学中不宜过于加大这方面的难度.

本节关于复合函数的单调性的讨论,仅限于形如 $y = A\sin \left( {{\omega x} + \varphi }\right)$ 的函数. 这方面的难度需要控制,关于形如 $y = A{\sin }^{2}x + B\sin x + C$ 的函数的单调性的问题不属于现阶段教学要求.

#### 7.2 余弦函数的图像与性质

### 教学重点

建立余弦函数的概念, 通过平移将余弦函数转化为正弦函数, 探讨余弦函数的图像与性质, 掌握余弦函数的奇偶性、周期性、单调性、值域与最值等性质及其图像特征.

### 内容分析

因为 $\cos x = \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}}\right)$ ,余弦函数 $y = \cos x$ 与函数 $y = \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}}\right)$ 是同一个函数,对余弦函数的研究可直接转化为对函数 $y = \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}}\right)$ 的研究. 由前一节的内容, 很自然地就可以得到余弦函数的图像与性质.

例 1 既是余弦函数值域与最值的应用, 也是对正弦函数值域与最值应用的补充. 第(2)小题给出了自变量有限制范围的函数的最值问题,在求这类值域或最值问题时, 利用函数单调性的说理过程必不可少, 这是特别要注意的.

例 2 旨在使学生掌握求最小正周期和函数单调区间的方法.

本节中没有设计关于余弦函数的奇偶性等方面的例题, 因为余弦函数的奇偶性问题与正弦函数的奇偶性问题完全类似.

通过习题 7.2B 组第 2、3 题, 进一步使学生理解余弦函数与正弦函数的关系, 掌握它们的图像和性质的区别与联系.

### 注意事项

区别于“二期课改”教材,本教材把余弦函数单独作为一节内容,可以更明确地从函数的角度找到它与正弦函数的联系. 正弦和余弦的定义虽然不同,但是余弦函数 $y = \cos x$ 与正弦函数 $y = \sin x$ 的图形形状是完全相同的,只是在直角坐标系中的位置不一样, 所以由正弦函数的图像与性质立刻可以得到余弦函数的图像与性质. 基于以上理由, 本节内容只需 1 课时.

### 教学建议

因为有了正弦函数的知识基础, 在本节的教学过程中应尽量引导学生找到余弦函数与正弦函数的联系,并由此得到余弦函数的图像,归纳出余弦函数的主要性质. 要让学生体会探究问题的方法.

本节例题选择的主要目的是突出余弦函数主要性质中的重点和难点, 不必增加过多的例题.

#### 7.3 函数 $y = A\sin \left( {{\omega x} + \varphi }\right)$ 的图像

### 教学重点

结合具体实例,了解函数 $y = A\sin \left( {{\omega x} + \varphi }\right)$ 以及表达式中参数 $A\text{、}\omega \text{、}\varphi$ 的实际意义. 会用三角函数解决简单的实际问题, 体会可利用三角函数构建刻画周期变化事物的数学模型.

在 $A > 0,\omega  > 0$ 的情况下,分别研究 $y = A\sin x\text{、}y = \sin {\omega x}\text{、}y = \sin \left( {x + \varphi }\right)$ 的图像,并发现它们与 $y = \sin x$ 的图像之间的关系. 能借助图像理解参数 $A\text{、}\omega \text{、}\varphi$ 的意义, 了解参数的变化对函数图像的影响.

会用五点 (作图) 法作出 $y = A\sin \left( {{\omega x} + \varphi }\right)$ 的大致图像.

### 内容分析

“函数 $y = A\sin \left( {{\omega x} + \varphi }\right)$ 的图像”是第一节“正弦函数的图像与性质”的深入. 它包含三部分内容: 一是函数 $y = A\sin \left( {{\omega x} + \varphi }\right)$ 表达式中参数 $A$ 、 $\omega$ 、 $\varphi$ 的意义；二是参数 $A\text{、}\omega \text{、}\varphi$ 的变化对图像的影响; 三是函数 $y = A\sin \left( {{\omega x} + \varphi }\right)$ 图像的画法.

从一个实际生活中大家熟悉的钟表转动问题引入函数 $y = A\sin \left( {{\omega x} + \varphi }\right)$ ,并直接给出简谐振动中物体离开平衡位置的位移 $y$ 与时间 $x$ 的函数关系 $y = A\sin \left( {{\omega x} + \varphi }\right) \; \left( {A > 0,\omega  > 0}\right)$ ,使学生了解研究函数 $y = A\sin \left( {{\omega x} + \varphi }\right)$ 的图像的必要性,了解函数 $y = A\sin \left( {{\omega x} + \varphi }\right)$ 的表达式中参数 $A\text{、}\omega \text{、}\varphi$ 的意义.

例 1 借助图像,让学生体会参数 $A\text{、}\omega \text{、}\varphi$ 变化对函数图像的影响.

例 2 是为了使学生掌握用前面学过的五点 (作图) 法作出 $y = A\sin \left( {{\omega x} + \varphi }\right)$ 的图像,并进一步理解参数 $A\text{、}\omega \text{、}\varphi$ 的意义.

例 3 的目的是让学生体会到, 可以利用三角函数构建刻画周期变化事物的数学模型,并使学生进一步理解参数 $A\text{、}\omega \text{、}\varphi$ 在实际问题中的意义.

探究与实践“潮汐的函数模拟”取自一个实际问题的数据. 若学生选择函数 $y = \; A\sin \left( {{\omega x} + \varphi }\right)  + B$ 进行模拟,需要学生考虑函数最大值的平均值和最小值的平均值, 计算出这两个平均值的差, 还要学会处理图像上两个最高点的水平距离, 两个最低点的水平距离等数据,由此找出参数 $A\text{、}\omega \text{、}\varphi$ 和 $B$ 的适当的值.

课后阅读“声音中的三角函数”让学生进一步感受三角函数在解决具体周期变化规律问题中的作用.

习题 7.3A 组的第 3 题和 B 组的第 3 题不需要学生具有相关的物理知识. 例如, 在 B 组的第 3 题中, 已直接给出了三相交流电的线电压的有效值的定义, 学生只需结合定义利用所学的数学知识就可以解决. 通过这些练习, 可以使学生体会到三角函数在现实世界中的应用.

### 注意事项

本节的知识重点是函数 $y = A\sin \left( {{\omega x} + \varphi }\right)$ 的图像及其表达式中参数 $A\text{、}\omega \text{、}\varphi$ 的意义.

需要掌握的内容是:

(1)对于函数 $y = A\sin \left( {{\omega x} + \varphi }\right)$ (其中参数 $A > 0,\omega  > 0)$ ,要知道: $A$ 增大时图像的振幅增大, $\omega$ 增大时图像相邻两个零点的间距减小, $\varphi$ 增大时图像向左平移;

(2)给定参数 $A\text{、}\omega \text{、}\varphi$ ,能用五点法作出函数 $y = A\sin \left( {{\omega x} + \varphi }\right)$ 的图像；

(3)给出函数 $y = A\sin \left( {{\omega x} + \varphi }\right)$ 的图像,能从图像中确定参数 $A\text{、}\omega \text{、}\varphi$ 的值.

需要注意的是,参数 $A\text{、}\omega \text{、}\varphi$ 对函数 $y = A\sin \left( {{\omega x} + \varphi }\right)$ 的影响不应超过例 1 中的定性要求, 特别是不应要求学生在不止一个参数变化时掌握函数图像的变换.

### 教学建议

本节内容较丰富,根据学生实际情况,教学过程中可以用 1 课时或 1.5 课时完成.

例 1 的教学过程中, 建议充分利用计算器、计算机画出三角函数的直观图像, 帮助学生观察、比较并发现它们的变化规律, 再通过计算验证相应的结论. 可以分两步进行以分散难点: 第一步在三个不同的直角坐标系中分别画出 $y = 2\sin x$ 与 $y = \sin x$ 的图像; $y = \sin {2x}$ 与 $y = \sin x$ 的图像; $y = \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}}\right)$ 与 $y = \sin x$ 的图像. 第二步把它们的图像放到同一个直角坐标系中,进行观察与比较. 参数 $A\text{、}\omega \text{、}\varphi$ 分别对函数 $y = A\sin \left( {{\omega x} + \varphi }\right)$ 的影响仅限于本例给出的定性结果,避免编制更复杂的习题.

例 2 中可以先回顾五点 (作图) 法画正弦函数的过程, 再确定函数 $y = A\sin \left( {{\omega x} + \varphi }\right)$ 的五个关键点,作出它的大致图像.

探究与实践活动建议让学生以研究报告或小论文的形式进行小结,培养学生数学建模的素养.

#### 7.4 正切函数的图像与性质

### 教学重点

建立正切函数的概念,借助单位圆画出正切函数 $y = \tan x$ 在 $\left( {-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}}\right)$ 的图像, 掌握正切函数的图像特征.

掌握正切函数的奇偶性、周期性、单调性和值域.

### 内容分析

类似对正弦函数图像与性质的研究方法, 得到正切函数的图像与性质. 对于正切函数 $y = \tan x$ 在 $\left( {-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}}\right)$ 上的单调性,我们利用函数单调性的定义给出了证明.

例 1 是正切函数的定义域和单调性的应用,只需学生掌握形如 $y = A\tan \left( {{\omega x} + \varphi }\right) \; \left( {A > 0,\omega  > 0}\right)$ 的函数的单调区间的问题,例题已严格控制了难度.

例 2 是正切函数周期性的应用,对于形如 $y = A\tan \left( {{\omega x} + \varphi }\right) \left( {A > 0,\omega  > 0}\right)$ 的函数,可以得到其周期 $T = \frac{\pi }{\omega }$ .

探究与实践“球门的张角问题”是“二期课改”教材中一道例题的改编,将其作为一个课后数学建模的活动. 球门是一个立体的图形, 从不同的角度考虑问题可能会得到不同的答案. 此问题作为一个课后探究活动, 使得学生有更多时间思考并建立恰当的数学模型.

### 注意事项

关于正切函数 $y = \tan x$ 的最小正周期是 $\pi$ ,可以仿照正弦函数最小正周期的证明. 证明如下: 若 $T$ 是正切函数 $y = \tan x$ 的最小正周期,由周期函数的定义有 $\tan x \; = \tan \left( {x + T}\right)$ ,即函数 $y = \tan x$ 与函数 $y = \tan \left( {x + T}\right)$ 是同一函数,它们的图像完全重合. 因此,将函数 $y = \tan x$ 的图像向左平移 $T$ 个长度单位,所得图像与 $y = \tan x$ 原来的图像完全重合. 显然 $T = \pi$ 是正切函数 $y = \tan x$ 的一个周期. 若其最小正周期满足 $0 < T < \pi$ ,由 $\tan x = \tan \left( {x + T}\right)$ ,并在式中特取 $x = 0$ ,就得到 $\tan T = 0$ ,这在 $0 < T < \pi$ 时不成立,所以函数 $y = \tan \left( {x + T}\right)$ 的图像不会与函数 $y = \tan x$ 的图像重合. 这说明正切函数不会有小于 $\pi$ 的正周期,从而其最小正周期为 $\pi$ . 这个证明和正弦函数的最小正周期的证明完全类似, 在教学过程中不必呈现.

### 教学建议

例 1 中,对于函数 $y = \tan \left( {\frac{\pi }{6}x + \frac{\pi }{3}}\right)$ 的单调区间,这里引用 “二期课改” 的做法, 因为 $\frac{\pi }{6}x + \frac{\pi }{3}$ 与 $x$ 的递增或递减变化一致,所以可以转化为正切函数的单调性加以说明. 在此没有用到复合函数的单调性判断方法, 教学过程中要注意控制难度.

探究与实践活动中建议让学生以研究报告或小论文的形式进行小结, 以培养学生数学建模的素养.

#### 三、参考答案或提示

##### 7.1 正弦函数的图像与性质

练习 7.1(1)

1. 略.

2. 图略. 使 $y > 0$ 的 $x$ 取值范围是 $\left\lbrack  {0,\frac{\pi }{6}}\right)  \cup  \left( {\frac{5\pi }{6},{2\pi }}\right\rbrack$ ; 使 $y < 0$ 的 $x$ 取值范围是 $\left( {\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}}\right)$ .

3. 图略. 将 $y = \sin x$ 的图像向上平移 2 个单位,得到 $y = \sin x + 2$ 的图像.

练习 7.1(2)

1. (1)最小正周期为 ${2\pi }$ . (2)最小正周期为 $\frac{2\pi }{3}$ .

2. 当 $x = {2k\pi } + \frac{4\pi }{3}\left( {k \in  \mathbf{Z}}\right)$ 时, $\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}}\right)  = \sin x$ 成立. 因为 $\sin \left( {\frac{\pi }{2} + \frac{\pi }{3}}\right)  \neq  \sin \frac{\pi }{2}$ , 所以 $\frac{\pi }{3}$ 不是 $y = \sin x$ 的周期.

3. 估算心电图的周期为 0.8 秒.

练习 ${7.1}\left( 3\right)$

1.(1)定义域为 $\mathbf{R}$ ,值域为 $\left\lbrack  {-1,1}\right\rbrack$ . (2)定义域为 $\mathbf{R}$ ,值域为 $\left\lbrack  {\frac{1}{2},2}\right\rbrack$ .

2.(1)最大值为 -4,此时 $x = {k\pi } + \frac{\pi }{8}, k \in  \mathbf{Z}$ ；最小值为 -6,此时 $x = {k\pi } + \frac{5\pi }{8}$ , $k \in  \mathbf{Z}$ .

(2) $y =  - {\left( \sin x - 1\right) }^{2} + 2$ ,因为 $- 1 \leq  \sin x \leq  1$ ,所以 $- 2 \leq  y \leq  2$ . 该函数的最大值为 2,此时 $x = {2k\pi } + \frac{\pi }{2}, k \in  \mathbf{Z}$ ; 最小值为 -2,此时 $x = {2k\pi } + \frac{3\pi }{2}, k \in  \mathbf{Z}$ .

(3) $y = 2\sin \left( {{2x} - \frac{\pi }{3}}\right)$ . 该函数的最大值为2,此时 $x = {k\pi } + \frac{5\pi }{12}, k \in  \mathbf{Z}$ ；最小值为 -2,此时 $x = {k\pi } + \frac{11\pi }{12}, k \in  \mathbf{Z}$ .

3. 由题意,可知 $\angle {C}_{1}{BC} = \angle {A}_{1}{DA} = \angle {B}_{1}{AB} = \alpha ,0 \leq  \alpha  \leq  \frac{\pi }{2},{A}_{1}{B}_{1} = {A}_{1}A + A{B}_{1} \; = b\sin \alpha  + a\cos \alpha$ ,同理 ${B}_{1}{C}_{1} = a\sin \alpha  + b\cos \alpha$ . 矩形 ${A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}$ 的周长为 $2\left( {{A}_{1}{B}_{1} + }\right. \; \left. {{B}_{1}{C}_{1}}\right)  = 2\left( {a + b}\right) \left( {\sin \alpha  + \cos \alpha }\right)  = 2\sqrt{2}\left( {a + b}\right) \sin \left( {\alpha  + \frac{\pi }{4}}\right)$ . 所以,当 $\alpha  = \frac{\pi }{4}$ 时,矩形 ${A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}$ 的周长最大.

练习 ${7.1}\left( 4\right)$

1.(1)奇函数. (2)偶函数. (3)偶函数. (4)既不是奇函数也不是偶函数.

2. (1) $\sin \left( {-\frac{\pi }{16}}\right)  > \sin \left( {-\frac{\pi }{13}}\right)$ . (2) $\sin {715}^{ \circ  } < \sin \left( {-{724}^{ \circ  }}\right)$ .

3. (1) $y = \sin x - 1$ 的单调增区间为 $\left\lbrack  {{2k\pi } - \frac{\pi }{2},{2k\pi } + \frac{\pi }{2}}\right\rbrack  \left( {k \in  \mathbf{Z}}\right)$ ；单调减区间为 $\left\lbrack  {{2k\pi } + \frac{\pi }{2},{2k\pi } + \frac{3\pi }{2}}\right\rbrack  \left( {k \in  \mathbf{Z}}\right) .$

(2) $y =  - \sin x$ 的单调增区间为 $\left\lbrack  {{2k\pi } + \frac{\pi }{2},{2k\pi } + \frac{3\pi }{2}}\right\rbrack  \left( {k \in  \mathbf{Z}}\right)$ ；单调减区间为 $\left\lbrack  {{2k\pi } - \frac{\pi }{2},{2k\pi } + \frac{\pi }{2}}\right\rbrack  \left( {k \in  \mathbf{Z}}\right) .$

(3) $y = \sin \left( {{3x} - \frac{\pi }{4}}\right)$ 的单调增区间为 $\left\lbrack  {\frac{{2k}\pi }{3} - \frac{\pi }{12},\frac{{2k}\pi }{3} + \frac{\pi }{4}}\right\rbrack  \left( {k \in  \mathbf{Z}}\right)$ ；单调减区间为 $\left\lbrack  {\frac{2k\pi }{3} + \frac{\pi }{4},\frac{2k\pi }{3} + \frac{7\pi }{12}}\right\rbrack  \left( {k \in  \mathbf{Z}}\right) .$

习题 7.1

A 组

1. 略.

2. (1)最小正周期为 ${7\pi }.\;$ (2) 最小正周期为 $\frac{2\pi }{3}$ .

3. 因为 $T = \frac{2\pi }{\left| 2\omega \right| }$ ,所以 $\left| {2\omega }\right|  = \frac{2\pi }{2}$ ,即 $\omega  =  \pm  \frac{\pi }{2}$ .

4.(1) $y = 2 - 3\sin x, x \in  \mathbf{R}$ 的最大值为 5,此时所有相应 $x$ 值的集合为 $\left\{  {x\left| {\;x = {2k\pi } + \frac{3\pi }{2}}\right. , k \in  \mathbf{Z}}\right\}$ ；最小值为 -1,此时所有相应 $x$ 值的集合为 $\left\{  \begin{array}{l} x\left| {\;x = {2k\pi } + \frac{\pi }{2}}\right. , \end{array}\right. \; \left. {k \in  \mathbf{Z}}\right\}$ .

(2) $y =  - {\sin }^{2}x + 2\sin x + 2, x \in  \mathbf{R}$ 的最大值为 3,此时所有相应 $x$ 值的集合为 $\left\{  {x\left| {\;x = {2k\pi } + \frac{\pi }{2}}\right. , k \in  \mathbf{Z}}\right\}$ ; 最小值为 -1,此时所有相应 $x$ 值的集合为 $\left\{  {x\left| {\;x = {2k\pi } + \frac{3\pi }{2}}\right. , k \in  \mathbf{Z}}\right\}$ .

(3) $y = 2\sin x - 5, x \in  \left\lbrack  {-\frac{\pi }{3},\frac{5\pi }{6}}\right\rbrack$ 的最大值为 -3,此时所有相应 $x$ 值的集合为 $\left\{  \frac{\pi }{2}\right\}$ ; 最小值为 $- 5 - \sqrt{3}$ ,此时所有相应 $x$ 值的集合为 $\left\{  {-\frac{\pi }{3}}\right\}$ .

(4) $y = {\cos }^{2}x - \sin x, x \in  \mathbf{R}$ 的最大值为 $\frac{5}{4}$ ,此时所有相应 $x$ 值的集合为 $\left\{  {x\left| {\;x = {2k\pi } - \frac{5\pi }{6}}\right. \text{或}x = {2k\pi } - \frac{\pi }{6}, k \in  \mathbf{Z}}\right\}$ ; 最小值为 -1,此时所有相应 $x$ 值的集合为 $\left\{  {x\left| {\;x = {2k\pi } + \frac{\pi }{2}}\right. , k \in  \mathbf{Z}}\right\}$ .

(3)既不是奇函数也不是偶函数.

6. (1) $\sin \frac{3\pi }{11} < \sin \frac{5\pi }{12}.\;$ (2) $\sin \left( {-\frac{76\pi }{11}}\right)  < \sin \frac{85\pi }{12}$ .

7. (1) $y = 2 - \sin x$ 的单调增区间为 $\left\lbrack  {{2k\pi } + \frac{\pi }{2},{2k\pi } + \frac{3\pi }{2}}\right\rbrack  \left( {k \in  \mathbf{Z}}\right)$ ；单调减区间为 $\left\lbrack  {{2k\pi } - \frac{\pi }{2},{2k\pi } + \frac{\pi }{2}}\right\rbrack  \left( {k \in  \mathbf{Z}}\right) .$

(2) $y = 3\sin \left( {\frac{x}{3} + \frac{\pi }{4}}\right)$ 的单调增区间为 $\left\lbrack  {{6k\pi } - \frac{9\pi }{4},{6k\pi } + \frac{3\pi }{4}}\right\rbrack  \left( {k \in  \mathbf{Z}}\right)$ ；单调减区间为 $\left\lbrack  {{6k\pi } + \frac{3\pi }{4},{6k\pi } + \frac{15\pi }{4}}\right\rbrack  \left( {k \in  \mathbf{Z}}\right)$ .

8.(1)因为 $y = {2\sqrt{3}}\sin \left( {x + \frac{\pi }{6}}\right)$ ,所以此函数的值域为 $\left\lbrack  {-{2\sqrt{3}},{2\sqrt{3}}}\right\rbrack$ .

(2)因为 $y = {\left( \sin x + 2\right) }^{2} - 4$ ,且 $- 1 \leq  \sin x \leq  1$ ,所以此函数的值域为 $\left\lbrack  {-3,5}\right\rbrack$ .

9. 因为方程 $\sin x = \frac{1}{2}$ 的解就是函数 $y = 2\sin x - 1$ 的零点,所以函数 $y = 2\sin x - 1$ 的零点为 $x = {2k\pi } + \frac{\pi }{6}$ 或 $x = {2k\pi } + \frac{5\pi }{6}\left( {k \in  \mathbf{Z}}\right)$ .

### B 组

1. 函数 $y = \sqrt{2\sin x - 1}$ 的定义域为 $\left\{  {x\left| {\;{2k\pi } + \frac{\pi }{6} \leq  x \leq  {2k\pi } + \frac{5\pi }{6}}\right. , k \in  \mathbf{Z}}\right\}$ .

2. 因为 $y = \sqrt{2}\sin \left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4}}\right)$ ,由 ${2k\pi } + \frac{\pi }{2} \leq  \frac{x}{2} + \frac{\pi }{4} \leq  {2k\pi } + \frac{3\pi }{2}\left( {k \in  \mathbf{Z}}\right)$ 有 ${4k\pi } + \frac{\pi }{2} \leq  x \; \leq  {4k\pi } + \frac{5\pi }{2}\left( {k \in  \mathbf{Z}}\right)$ ,所以此函数的单调减区间为 $\left\lbrack  {{4k\pi } + \frac{\pi }{2},{4k\pi } + \frac{5\pi }{2}}\right\rbrack  \left( {k \in  \mathbf{Z}}\right)$ .

3. 因为函数 $y = \frac{\sqrt{3}}{2}\sin {2kx} + {\cos }^{2}{kx} = \sin \left( {{2kx} + \frac{\pi }{6}}\right)  + \frac{1}{2}\left( {k > 0}\right)$ ,所以 $T = \frac{2\pi }{2k} = \pi$ , 解得 $k = 1$ .

4. 因为 $- \frac{\pi }{3} \leq  x \leq  \frac{\pi }{2}$ ,所以 $- \frac{\pi }{6} \leq  x + \frac{\pi }{6} \leq  \frac{2\pi }{3}$ ,从而 $- \frac{1}{2} \leq  \sin \left( {x + \frac{\pi }{6}}\right)  \leq  1$ ,故此函数的值域为 $\left\lbrack  {-\frac{1}{2},1}\right\rbrack$ .

5. 因为 $y = {\sin }^{4}x + {\cos }^{4}x = 1 - 2{\sin }^{2}x \cdot  {\cos }^{2}x = 1 - \frac{{\sin }^{2}{2x}}{2} = \frac{3 + \cos {4x}}{4}$ ,所以此函数的最小正周期为 $T = \frac{2\pi }{4} = \frac{\pi }{2}$ . 因为 $- 1 \leq  \cos {4x} \leq  1$ ,所以 $\frac{1}{2} \leq  \frac{3 + \cos {4x}}{4} \leq  1$ ,此函数的最小值为 $\frac{1}{2}$ ,最大值为 1 .

6. 设四边形 ${OACB}$ 的面积为 $S$ , $\angle {AOB} = \alpha$ ,则 $S =  \bigtriangleup  {OAB}$ 的面积 $+  \bigtriangleup  {ABC}$ 的面积. 在 $\bigtriangleup {OAB}$ 中,由余弦定理,有 $A{B}^{2} = O{A}^{2} + O{B}^{2} - {2OA} \cdot  {OB}\cos \alpha  = 5 - 4\cos \alpha$ , 故 $\bigtriangleup {ABC}$ 的面积为 $\frac{1}{2}A{B}^{2} \cdot  \sin {60}^{ \circ  } = \frac{\sqrt{3}}{4}\left( {5 - 4\cos \alpha }\right)$ . 从而有 $S = \frac{1}{2}{OA} \cdot  {OB} \cdot  \sin \alpha  + \; \frac{\sqrt{3}}{4}\left( {5 - 4\cos \alpha }\right)  = \sin \alpha  - \sqrt{3}\cos \alpha  + \frac{5\sqrt{3}}{4} = 2\sin \left( {\alpha  - \frac{\pi }{3}}\right)  + \frac{5\sqrt{3}}{4}$ ,其中 $0 < \alpha  < \pi$ . 因此四边形 ${OACB}$ 的面积 $S$ 的最大值为 $2 + \frac{5\sqrt{3}}{4}$ ,此时 $\angle {AOB} = \frac{5\pi }{6}$ .

7.(1)函数 $y = f\left( x\right)$ 的最小正周期为2.(2)略.

#### 7.2 余弦函数的图像与性质

### 练习 7.2

1. $\omega  = \frac{1}{2}$ .

2.(1)奇函数. (2)奇函数. (3)既不是奇函数也不是偶函数.

3. 函数 $y = 2\cos \left( {\frac{x}{2} - \frac{\pi }{6}}\right)$ 的最小正周期为 ${4\pi }$ ,单调增区间为 $\left\lbrack  {{4k\pi } - \frac{5\pi }{3},{4k\pi } + \frac{\pi }{3}}\right\rbrack \; \left( {k \in  \mathbf{Z}}\right)$ ,单调减区间为 $\left\lbrack  {{4k\pi } + \frac{\pi }{3},{4k\pi } + \frac{7\pi }{3}}\right\rbrack  \left( {k \in  \mathbf{Z}}\right)$ .

习题 7.2

A 组

1. 略.

2. (1) ${6\pi }$ . (2) $\pi$ .

3. (1) $y = {3}^{\cos {2x}}, x \in  \mathbf{R}$ 的最大值为 3,此时相应 $x$ 值的集合为 $\{ x \mid  x = {k\pi }, k \in  \mathbf{Z}\}$ ； 最小值为 $\frac{1}{3}$ ,此时相应 $x$ 值的集合为 $\left\{  {x\left| {\;x = {k\pi } + \frac{\pi }{2}}\right. , k \in  \mathbf{Z}}\right\}$ .

(2)因为 $y = \cos x - {\sin }^{2}x = {\left( \cos x + \frac{1}{2}\right) }^{2} - \frac{5}{4}$ ,且 $- 1 \leq  \cos x \leq  1$ ,所以此函数的最大值为 1,此时相应 $x$ 值的集合为 $\{ x \mid  x = {2k\pi }, k \in  \mathbf{Z}\}$ ；最小值为 $- \frac{5}{4}$ ,此时相应 $x$ 值的集合为 $\left\{  {x\left| {\;x = {2k\pi } \pm  \frac{2\pi }{3}}\right. , k \in  \mathbf{Z}}\right\}$ .

4.(1)偶函数. (2)既不是奇函数也不是偶函数.

5. 函数 $y = \cos {2x}, x \in  \left\lbrack  {-\frac{\pi }{6},\frac{2\pi }{3}}\right\rbrack$ 的单调增区间是 $\left\lbrack  {-\frac{\pi }{6},0}\right\rbrack$ 和 $\left\lbrack  {\frac{\pi }{2},\frac{2\pi }{3}}\right\rbrack$ ; 单调减区间是 $\left\lbrack  {0,\frac{\pi }{2}}\right\rbrack$ . 当 $x = 0$ 时,此函数取得最大值 1 ; 当 $x = \frac{\pi }{2}$ 时,此函数取得最小值 -1 . 因此, 此函数的值域是 $\left\lbrack  {-1,1}\right\rbrack$ .

### B 组

1. A.

2. 由偶函数的定义,可以得到 $\varphi  = \frac{\pi }{2}$ .

3. 在同一平面直角坐标系中画出 $y = \sin x$ 和 $y = \cos x$ 的图像,可以看出 $\bigtriangleup {ABC}$ 总是以 ${2\pi }$ 为底边、高为 $\sqrt{2}$ 的等腰三角形,因此 $\bigtriangleup {ABC}$ 的面积为 $\sqrt{2}\pi$ .

#### 7.3 函数 $y = A\sin \left( {{\omega x} + \varphi }\right)$ 的图像

### 练习 7.3

1. 略.

2. D.

3. $y = \frac{3}{2}\sin \left( {{2x} + \frac{\pi }{6}}\right)$ .

### 习题 7.3

A 组

1. 略.

2. 函数 $y = \sqrt{2}\sin \left( {{30\pi x} - \frac{\pi }{12}}\right)$ 的振幅为 $\sqrt{2}$ ,频率为 $f = \frac{1}{T} = \frac{30\pi }{2\pi } = {15}$ ,初始相位是 $- \frac{\pi }{12}$ .

3. 因为频率为 $f = \frac{1}{T} = \frac{100\pi }{2\pi } = {50}$ (次/秒),所以这种交流电流在 ${0.5}\mathrm{\;s}$ 内往复运行的次数为 ${0.5} \times  {50} = {25}$ (次).

4. 略.

5. 图略. (1)在 $h = \sqrt{2}\left( \mathrm{\;{cm}}\right)$ 处. (2) $2\mathrm{\;{cm}}$ . (3) $2\mathrm{\;s}$ . (4)0.5 次.

B 组

1. 略.

2. $y = 2\cos \left( {\frac{x}{2} + \frac{5\pi }{3}}\right)$ .

3. 因为 ${U}_{2} - {U}_{1} = A\sin \left( {{\omega t} + \frac{2\pi }{3}}\right)  - A\sin {\omega t} = A\sin {\omega t} \cdot  \cos \frac{2\pi }{3} + A\cos {\omega t} \cdot  \sin \frac{2\pi }{3} - \; A\sin {\omega t} =  - \frac{3}{2}A\sin {\omega t} + \frac{\sqrt{3}}{2}A\cos {\omega t} =  - \sqrt{3}A\sin \left( {{\omega t} - \frac{\pi }{6}}\right)$ ,所以其最大值为 ${Y}_{1} = \; \sqrt{3}A = {220}\sqrt{6}$ . 同理, ${Y}_{2} = {220}\sqrt{6},{Y}_{3} = {220}\sqrt{6}$ . 因此,三相交流电的线电压的有效值 $\frac{{Y}_{1}}{\sqrt{2}} = \frac{{Y}_{2}}{\sqrt{2}} = \frac{{Y}_{3}}{\sqrt{2}} = {220}\sqrt{3}.$

练习 7.4

1. $\left\{  {\alpha \left| {\;\alpha  = {k\pi } + \frac{\pi }{3}}\right. , k \in  \mathbf{Z}}\right\}$ .

2. (1) $\tan \left( {-\frac{2\pi }{7}}\right)  > \tan \left( {-\frac{2\pi }{5}}\right)$ . (2) $\cot {231}^{ \circ  } > \cot {237}^{ \circ  }$ . (3) $\tan \left( {{k\pi } - \frac{\pi }{3}}\right)  < \; \tan \left( {{k\pi } + \frac{\pi }{3}}\right)$ .

3. 定义域为 $\left\{  {x\left| {\;x \neq  \frac{k\pi }{3} + \frac{\pi }{12}}\right. , k \in  \mathbf{Z}}\right\}$ ; 单调增区间为 $\left( {\frac{k\pi }{3} - \frac{\pi }{4},\frac{k\pi }{3} + \frac{\pi }{12}}\right) \left( {k \in  \mathbf{Z}}\right)$ .

习题 7.4

A 组

1. (1) ${2\pi }$ . (2) $\frac{\pi }{3}$ .

2. $T = \frac{\pi }{\left| a\right| }$ .

3. 函数 $y = \tan x$ 的最大值为 1,此时 $x = \frac{\pi }{4}$ ; 最小值为 $- \sqrt{3}$ ,此时 $x =  - \frac{\pi }{3}$ .

4.(1)奇函数. (2)偶函数. (3)奇函数. (4)偶函数.

5. 函数 $y = 2\tan \left( {{3x} - \frac{\pi }{6}}\right)$ 的定义域为 $\left\{  {x\left| {\;x \in  \mathbf{R}}\right. , x \neq  \frac{k\pi }{3} + \frac{2\pi }{9}, k \in  \mathbf{Z}}\right\}$ ,单调增区间为 $\left( {\frac{k\pi }{3} - \frac{\pi }{9},\frac{k\pi }{3} + \frac{2\pi }{9}}\right) \left( {k \in  \mathbf{Z}}\right)$ .

### B 组

1. $x = {k\pi }, k \in  \mathbf{Z}$ .

2. 因为 $f\left( {-2}\right)  = a\sin \left( {-4}\right)  + b\tan \left( {-2}\right)  + 3 = 1$ ,所以 $a\sin 4 + b\tan 2 = 2$ ,从而 $f\left( {\pi  + 2}\right)  = a\sin \left( {{2\pi } + 4}\right)  + b\tan \left( {\pi  + 2}\right)  + 3 = a\sin 4 + b\tan 2 + 3 = 2 + 3 = 5.$

3. 最大值为 2 , 最小值为 $- \frac{1}{4}$ .

### 复习题

A 组

(2) $\frac{2\pi }{3}$ .

(4)既不是奇函数也不是偶函数.

3. $x = \frac{\pi }{6}$ .

4.(1) $y =  - \sin {2x}$ 的单调增区间为 $\left\lbrack  {{k\pi } + \frac{\pi }{4},{k\pi } + \frac{3\pi }{4}}\right\rbrack  \left( {k \in  \mathbf{Z}}\right)$ ；单调减区间为 $\left\lbrack  {{k\pi } - \frac{\pi }{4},{k\pi } + \frac{\pi }{4}}\right\rbrack  \left( {k \in  \mathbf{Z}}\right) .$

(2) $y = 2\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}}\right)$ 的单调增区间为 $\left\lbrack  {{2k\pi } - \frac{5\pi }{6},{2k\pi } + \frac{\pi }{6}}\right\rbrack  \left( {k \in  \mathbf{Z}}\right)$ ；单调减区间为 $\left\lbrack  {{2k\pi } + \frac{\pi }{6},{2k\pi } + \frac{7\pi }{6}}\right\rbrack  \left( {k \in  \mathbf{Z}}\right) .$

(3) $y = \cos \left( {\frac{x}{2} - \frac{\pi }{4}}\right)$ 的单调增区间为 $\left\lbrack  {{4k\pi } - \frac{3\pi }{2},{4k\pi } + \frac{\pi }{2}}\right\rbrack  \left( {k \in  \mathbf{Z}}\right)$ ；单调减区间为 $\left\lbrack  {{4k\pi } + \frac{\pi }{2},{4k\pi } + \frac{5\pi }{2}}\right\rbrack  \left( {k \in  \mathbf{Z}}\right) .$

(4) $y = 2\tan \left( {{2x} + \frac{\pi }{4}}\right)$ 的单调增区间为 $\left( {\frac{k\pi }{2} - \frac{3\pi }{8},\frac{k\pi }{2} + \frac{\pi }{8}}\right) \left( {k \in  \mathbf{Z}}\right)$ .

5. 略.

6. $y = 3\sin \left( {{3x} + \frac{\pi }{6}}\right)$ .

7. (1)因为 $y = {\cos }^{2}x + \cos x - 2 = {\left( \cos x + \frac{1}{2}\right) }^{2} - \frac{9}{4}$ ,且 $- 1 \leq  \cos x \leq  1$ ,所以此函数的最大值为 0,此时 $x = {2k\pi }, k \in  \mathbf{Z}$ ；最小值为 $- \frac{9}{4}$ ,此时 $x = {2k\pi } \pm  \frac{2\pi }{3}, k \in  \mathbf{Z}$ .

(2)因为 $- \frac{2\pi }{3} \leq  x \leq  \frac{\pi }{3}, - \frac{4\pi }{3} \leq  {2x} \leq  \frac{2\pi }{3}$ ,从而 $- 1 \leq  \sin {2x} \leq  1$ ,所以函数 $y = \sin {2x}, x \in  \left\lbrack  {-\frac{2\pi }{3},\frac{\pi }{3}}\right\rbrack$ 的最大值为 1,此时 $x = \frac{\pi }{4}$ ; 其最小值为 -1,此时 $x =  - \frac{\pi }{4}.$

(3)因为 $y = {\sin }^{2}{2x} - 2\sin {2x} = {\left( \sin {2x} - 1\right) }^{2} - 1$ ,且 $- 1 \leq  \sin {2x} \leq  1$ ,所以此函数的最大值为 3,此时 $x = {k\pi } + \frac{3\pi }{4}, k \in  \mathbf{Z}$ ; 最小值为 -1,此时 $x = {k\pi } + \frac{\pi }{4}, k \in  \mathbf{Z}$ .

(4)因为 $- \frac{\pi }{6} \leq  x \leq  \frac{\pi }{4}, - \frac{\pi }{3} \leq  x - \frac{\pi }{6} \leq  \frac{\pi }{12}$ ,从而 $\frac{1}{2} \leq  \cos \left( {x - \frac{\pi }{6}}\right)  \leq  1$ ,所以函数 $y = \cos \left( {x - \frac{\pi }{6}}\right) , x \in  \left\lbrack  {-\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{4}}\right\rbrack$ 的最大值为 1,此时 $x = \frac{\pi }{6}$ ; 最小值为 $\frac{1}{2}$ ,此时 $x =  - \frac{\pi }{6}.$

8. (1) $y = {10} - \sqrt{3}\cos \frac{\pi }{12}t - \sin \frac{\pi }{12}t = {10} - 2\sin \left( {\frac{\pi }{12}t + \frac{\pi }{3}}\right)$ . 因为 $0 \leq  t < {24}$ , $\frac{\pi }{3} \leq  \frac{\pi }{12}t + \; \frac{\pi }{3} < \frac{7\pi }{3}$ ,从而 $- 1 \leq  \sin \left( {\frac{\pi }{12}t + \frac{\pi }{3}}\right)  \leq  1$ ,所以该函数的最大值为 12,此时 $t = {14}$ ; 最小值为 8,此时 $t = 2$ . 因此,最大温差为 ${12} - 8 = 4\left( {{}^{ \circ  }\mathrm{C}}\right)$ .

(2)由题意,有 $y = {10} - 2\sin \left( {\frac{\pi }{12}t + \frac{\pi }{3}}\right)  > {11}$ ,即 $\sin \left( {\frac{\pi }{12}t + \frac{\pi }{3}}\right)  <  - \frac{1}{2}$ ,而 $\frac{\pi }{3} \leq \; \frac{\pi }{12}t + \frac{\pi }{3} < \frac{7\pi }{3}$ ,所以 $\frac{7\pi }{6} < \frac{\pi }{12}t + \frac{\pi }{3} < \frac{11\pi }{6}$ ,解得 ${10} < t < {18}$ ,从而 10 时到 18 时这段时间需要降温.

### B 组

1. 因为 $y = \sin \left( {{2x} - \frac{\pi }{4}}\right)  - 2\sqrt{2}{\sin }^{2}x = \frac{\sqrt{2}}{2}\sin {2x} - \frac{\sqrt{2}}{2}\cos {2x} - \sqrt{2}\left( {1 - \cos {2x}}\right)  = \; \frac{\sqrt{2}}{2}\sin {2x} + \frac{\sqrt{2}}{2}\cos {2x} - \sqrt{2} = \sin \left( {{2x} + \frac{\pi }{4}}\right)  - \sqrt{2}$ ,所以其最小正周期为 $T = \frac{2\pi }{2} = \pi$ .

2. 在同一平面直角坐标系中画出 $y = \sin x, x \in  \left( {0,{2\pi }}\right)$ 及 $y = \cos x, x \in  \left( {0,{2\pi }}\right)$ 的图像. 由图像可知,使 $\sin x > \cos x$ 成立的 $x$ 的取值范围是 $\left( {\frac{\pi }{4},\frac{5\pi }{4}}\right)$ .

3. (1)因为 $y = 2{\sin }^{2}x + \sin {2x} - 1 = \sin {2x} - \cos {2x} = \sqrt{2}\sin \left( {{2x} - \frac{\pi }{4}}\right)$ ,所以此函数的最大值为 $\sqrt{2}$ ,此时 $x = {k\pi } + \frac{3\pi }{8}, k \in  \mathbf{Z}$ .

(2) $y = 1 - \sin x - 2{\cos }^{2}x = 2{\sin }^{2}x - \sin x - 1 = 2{\left( \sin x - \frac{1}{4}\right) }^{2} - \frac{9}{8}$ . 因为 $x \in  \left\lbrack  {\frac{\pi }{3},\frac{4\pi }{3}}\right\rbrack$ ,从而 $- \frac{\sqrt{3}}{2} \leq  \sin x \leq  1$ ,所以当 $\sin x =  - \frac{\sqrt{3}}{2}$ 时,此函数取得最大值 $\frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ ,此时 $x = \frac{4\pi }{3}$ .

4. 因为 $0 \leq  x \leq  \frac{\pi }{3}$ ,且 $0 < \omega  < 1$ ,可知 $0 \leq  {\omega x} \leq  \frac{\pi }{3}\omega  < \frac{\pi }{3}$ ,从而 $y = 2\sin {\omega x}$ 在 $\left\lbrack  {0,\frac{\pi }{3}}\right\rbrack$ 上为严格增函数. 因此当 $x = \frac{\pi }{3}$ 时,该函数取得最大值,有 $2\sin \left( {\frac{\pi }{3}\omega }\right)  = \sqrt{2}$ , $\frac{\pi }{3}\omega  = \frac{\pi }{4},\omega  = \frac{3}{4}.$

5. ( 1 )由题意,有 $A = {50}, b = {60}$ ,最小正周期 $T = {30}$ ,于是 $\omega  = \frac{\pi }{15}$ ,故有 $y = \; {50}\sin \left( {\frac{\pi }{15}t + \varphi }\right)  + {60}$ . 因为当 $t = 0$ 时, $y = {10}$ ,于是 $\sin \varphi  =  - 1$ ,而 $\varphi  \in  \left\lbrack  {-\pi ,\pi }\right\rbrack$ ,从而 $\varphi  =  - \frac{\pi }{2}$ . 所以, $y$ (米) 关于 $t$ (分钟) 的表达式为 $y = {50}\sin \left( {\frac{\pi }{15}t - \frac{\pi }{2}}\right)  + {60}$ .

(2)由题意,有 $y = {50}\sin \left( {\frac{\pi }{15}t - \frac{\pi }{2}}\right)  + {60} > {85}$ ,即 $\sin \left( {\frac{\pi }{15}t - \frac{\pi }{2}}\right)  > \frac{1}{2}$ . 只需考虑第一周的情况,此时 $0 \leq  t \leq  {30}, - \frac{\pi }{2} \leq  \frac{\pi }{15}t - \frac{\pi }{2} \leq  \frac{3\pi }{2}$ ,从而 $\frac{\pi }{6} < \frac{\pi }{15}t - \frac{\pi }{2} < \frac{5\pi }{6}$ ,解得 ${10} < \; t < {20}$ . 所以在摩天轮转动的一圈内,有 10 分钟的时间点 $P$ 距离地面超过 85 米.

* 6-*8. 证明略.

### 拓展与思考

1. 由图像可知,线段 ${P}_{1}{P}_{2}$ 的长就是 $\sin x$ 的值,而 $\sin x$ 满足的条件是 $6\cos x = \; 5\tan x$ ,即 $6\cos x = \frac{5\sin x}{\cos x}$ ,即 $6{\cos }^{2}x = 5\sin x,6{\sin }^{2}x + 5\sin x - 6 = 0,\left( {3\sin x - 2}\right) \; \left( {2\sin x + 3}\right)  = 0$ . 因为 $0 < x < \frac{\pi }{2},0 < \sin x < 1$ ,所以线段 ${P}_{1}{P}_{2}$ 的长为 $\sin x = \frac{2}{3}$ .

2. (1)当 $5 \leq  x \leq  6$ 时, $0 \leq  6 - x \leq  1$ ,由 $y = f\left( x\right)$ 的最小正周期为 2,且是偶函数,有 $f\left( x\right)  = f\left( {x - 6}\right)  = f\left( {6 - x}\right)  = 6 - x\left( {5 \leq  x \leq  6}\right)$ ,故当 $5 \leq  x \leq  6$ 时,函数的表达式为 $y = 6 - x$ .

(2)由图像可知 $y = f\left( x\right)$ 必经过点 $\left( {7,1}\right)$ 或 $\left( {-7,1}\right)$ ,从而 $k =  \pm  \frac{1}{7}$ .

3. (1)因为 ${PR} = 3 - 2\sin \theta ,{PQ} = 3 - 2\cos \theta$ ,其中 $0 \leq  \theta  \leq  \frac{\pi }{2}$ ,所以 $S$ 关于 $\theta$ 的函数解析式为 $S = \left( {3 - 2\sin \theta }\right) \left( {3 - 2\cos \theta }\right) ,0 \leq  \theta  \leq  \frac{\pi }{2}$ .

(2) $S = \left( {3 - 2\sin \theta }\right) \left( {3 - 2\cos \theta }\right)  = 9 - 6\left( {\sin \theta  + \cos \theta }\right)  + 4\sin \theta \cos \theta$ . 令 $\sin \theta  + \cos \theta \; = t$ ,则 $t = \sqrt{2}\sin \left( {\theta  + \frac{\pi }{4}}\right)  \in  \left\lbrack  {1,\sqrt{2}}\right\rbrack$ ,从而 $2\sin \theta  \cdot  \cos \theta  = {t}^{2} - 1$ ,而 $S = 2{t}^{2} - {6t} + 7 = \; 2{\left( t - \frac{3}{2}\right) }^{2} + \frac{5}{2}$ . 由此可得: 当 $t = 1$ 即 $\theta  = 0$ 或 $\frac{\pi }{2}$ 时,矩形 ${PQCR}$ 的面积 $S$ 取得最大值 3 (平方米).

#### 四、相关阅读材料

### 参考文献

[1] 伊莱・马奥尔. 三角之美──边边角角的趣事(第 2 版)[M]. 曹雪林,边晓娜,译. 北京:人民邮电出版社,2018.

[2] 宋仑珍. 傅立叶教你学三角函数[M]. 王明君, 译. 合肥: 黄山书社, 2016.